domingo, 3 de marzo de 2013

CEB 6/13

bloque 1

materia: matemáticas

alumno: Viviana de Jesús Enriquez 

N.L. 5

Maestra: Gloria Monterrosas 
203




EN ESTE PRIMER BLOQUE APRENDÍA A  COMO HACER ÁNGULOS  Y SU CLASIFICACIÓN DE LA MISMA, AL PRINCIPIO LA VERDAD NO SABIA CUAL ERA SU CLASIFICACIÓN PERO DEBO ACEPTAR QUE NO SABIA NADA AL PRINCIPIO DEL BLOQUE LO CUAL ME GUSTARÍA SABER PARA QUE ASÍ NO SE ME DIFICULTE AUNQUE LA VERDAD ME CUESTA MUCHO PONER ATENCIÓN PERO QUIERO SABER MAS ACERCA DE LOS ÁNGULOS Y LOS DIFERENCIAS DE LOS TRIÁNGULOS Y ME GUSTARÍA SABER MAS ACERCA DE OTROS TEMAS Y ME GUSTO MUCHO AVER CREADO EL REHILETE PARA ASÍ CONOCER UN POCO MAS DE LOS ÁNGULOS Y LOS DISTINTOS TRIÁNGULOS Y TAMBIÉN AVER CREADO UN COLLAGE PARA CONOCER MAS SUS CLASIFICACIONES. TODO LO QUE LO APRENDIDO  EN ESTE PRIMER BLOQUE PUEDE DARME CUENTA QUE LOS ÁNGULOS Y LOS TRIÁNGULOS SE CLASIFICAN DE DISTINTAS FORMAS Y TODO ESTO LO PODEMOS VER EN CUALQUIER PARTE DE LAS COSAS QUE VEMOS. 






Bloque II
La congruencia de triángulos

Competencia: desarrollar innovaciones y propone soluciones a  problemas a partir de métodos establecidos.
Se conoce y valora a si mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persiguen.

En este bloque prendimos como son congruentes o también  conocido como igualdad los triángulos por sus criterios de LLL (Lado, Lado, Lado), LAL (Lado, Angulo, Lado) ALA (Angulo, Lado, Angulo). Se dice que dos o mas figuras son congruentes entre si, si se pueden poner de tal forma que exista una coincidencia entre estas.
También pudimos elaborar un prisma triangular para poder darnos cuenta si existía una congruencia para ello  se utilizaron espejos  y de altura debería tener 20 cm.
También cuales de los triángulos son iguales por sus criterios en los cuales los podemos utilizar en nuestra vida diaria como por ejemplo al trazar una estrella con diferentes tamaños de triángulos.
Esto nos podría servir para poder realizar una figura congruente y poder saber si sus criterios son iguales













Bloque  III
Los problemas de semejanza de triángulos  y el teorema de Pitágoras

Competencias: es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

En este bloque pudimos conocer tanto los criterios de semejanza (razón y proporción), semejanza de triángulos (LLL, LAL, ALA), teorema de tales y teorema de Pitágoras. Sabemos que los triángulos  son semejantes no importa si de diferente tamaño siempre y cuando sus lados sean proporcionales entre si, también si el ángulo es comprendido entre esos lados y  en el teorema de tales se podría decir que si dos paralelas se cortan por dos líneas transversales, entonces los segmentos correspondientes  formados son proporcionales y en el teorema de Pitágoras  es que todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
En este bloque se realizo una figura para poder comprobar el teorema de Pitágoras tanto un cuadro comparativo como una maqueta a escala.      



polígono
No. De lados
Numero de                                                s que se forman
Suma de los ks de un triangulo
Suma de todos los Ps  de todos los triángulos
Triangulo
3
1
180°
180°
Cuadrilátero
4
2
180°
360°
Pentágono
5
3
180°
180°×3=540°
hexágono
6
4
180°
180°×4=720°
Heptágono
7
5
180°
180°×5=900°
Octágono
8
6
180°
180°×6=1080°
Polígono de 15 lados
15
13
180°
180°×13=2340°
Polígono de 18 lados
18
16
180°
180°×16=2880°
Icosagono
20
18
180°
180°×18=3240°



































































Funciones trigonométrica:
Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de la medida delos ángulos y sus relaciones una función f(x) es la regla o formula que se asocia cada punto de un conjunto de puntos con otro de un grupo distinto de puntos el primer conjunto de puntos se conoce como dominio y el segundo se denomina condominio o rango la regla que asocia al dominio con el condominio es una razón trigonométrica se encuentran la relación seno, coseno y tangente así como sus respectivas inversa las relación cosecante, secante y cotangente en ese orden las letras minúsculas son las que utilizamos en las funciones trigonométricas las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los angulos del Triángulo.
Empezaremos a ver cada una de las Funciones:
image111 (1).jpg
1. Función  Seno ( Sen):
   
    La Función Seno nos describe la relación  existente entre Lado Opuesto sobre la
   
    Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

          image112.jpg        
2.  Función Coseno ( Cos):

La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre hipotenusa.
Su simbología es la siguiente:
image113.jpg
  
3.  Función Tangente ( Tan):

     Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre la Hipotenusa.
image114.jpg



4.  Función  Cotangente ( Cot):
           
            Que describe la relación  entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
                image115.jpg      
       5.  Función Secante (  Sec):
           
            Relación entre Hipotenusa sobre  Lado Adyacente:

                     image116.jpg
             
       6.  Función  Cosecante ( CsC):

            Nos muestra la relación entre Hipotenusa  sobre  Lado Opuesto:   

image117.jpg
EJEMPLO 1

Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de 20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de distancia. ¿A qué altura exploto el cohete?
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/estallido-del-cohete.png?w=595




http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/estallido-cohete-con-angulos.png?w=595 Primeramente, sabemos que el triángulo tiene un ángulo de 90°, otro de 20°, por ende el tercer ángulo mide 70° ¿Por qué?





Ya teniendo el ángulo, usaremos la fórmula para saber la altura. En este caso, usamos la fórmula de la tangente, pues del triángulo mencionado, vamos a usar los dos catetos, que vendrían siendo el cateto adyacente (20m) y el cateto opuesto (altura) siendo la tangente los 20° que la persona vio de elevación el estallido.
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/estallido-cohete-con-angulos-y-dimensiones.png?w=595

 http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/tangente1.gif?w=595   http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/tangente20.gif?w=595


Como Altura está arriba y no puede dividirse por 20m, pasa multiplicando, y queda:
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/tangente20_3.gif?w=595
La altura del cohete al explotar fue de 7.27m

EJEMPLO 2

Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al último piso del edificio que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A cuántos metros dejo su automóvil del edificio, y a que distancia se ve desde el edificio?
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/ejemplo-2.png?w=595

 Para saber la distancia del auto al edificio viéndolo desde arriba, se usa la tangente.
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/tangente2.gif?w=595
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/tangente40.gif?w=595
 Del auto al edificio son 12.58m de distancia. Ahora veremos la distancia que hay de la persona situada arriba, hasta el auto. Sacaremos el valor de la Hipotenusa. Se puede sacar por 2 métodos ya antes vistos, por el método del Teorema de Pitágoras, o por las funciones trigonométricas del Teorema de Pitágoras. Veré por los 2 métodos.

Función trigonométrica del Teorema de Pitágoras
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/coseno-de-cateto-adyacente.png?w=595
Teorema de Pitágoras
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/el-teorema-de-pitagoras-del-problema.png?w=595
Los dos quedan iguales con 1 decimal de diferencia. Y el triángulo queda:
http://ingenieriaensistemasuat.files.wordpress.com/2010/01/ejercicio-2-resuelto.png?w=595Calculo de los valores




 http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2010/01/07/funciones-trigonometricas-en-el-teorema-de-pitagoras-ejemplos/
Sistema sexagesimal y circular
*Sistema sexagesimal: al seleccionar cada uno de los ángulos agudos en 60 partes iguales se tiene la unidad básica de medida sexagesimal de un ángulo la cual se conoce como grado si se divide un grado en 60 partes iguales cada una de ellas se conocerá como minuto y si se divide un minuto en 60 partes iguales se tendrá una unidad conocida como segundo este tipo de sistema se llama sexagesimal porque sus fracciones se representan tomando como base el núm. 60 tal como sucede en el sistema decimal cuyas unidades están basadas en el núm. 10 el ángulo mide 20.64ºpara expresar esta cantidad en grados minutos y segundos procederemos de la siguiente manera la parte entera que corresponde a los grados es la unidad de medida de los ángulos por lo que no requiere ser expresada en otra unidad se debe buscar la equivalencia en minutos (`) de la parte decimal es decir 0.64º para esto se aplica la regla de tres
1º              60` entonces x=0.64x60=38.4
                                                            0.64º (minutos)
Por lo tanto es equivalente a 34.8º la parte entera ya está expresada en una unidad deseada es decir 34` es por esto que se desea conocer la equivalencia en segundos de la parte decimal nuevamente por la regla de tres se tiene
X=0.8 x 60 =48`` (segundos)
Entonces 0.8` equivale a 48`` (segundos) el resultado de esta última operación no puede contener decimales una vez que se han obtenido las equivalencias se tiene como 20.64º es igual a 20º34´48´´
En un caso contrario en que se necesita expresar 45°12´ 10´´ solamente en grados se realiza el procedimiento inverso utilizando la regla de  tres .
Ejemplo1
Realiza las siguientes sumas:

68º 35' 42'' + 56º 46' 39''

solución
5 h 48min 50 s + 6 h 45 min 30 s + 7 h 58 min 13 s
solución



6 h 13 min 45 s + 7 h 12 min 43 s + 6 h 33 min 50 s
solución
Ejemplo 2
Realiza los productos:

(132° 26' 33'') × 5

solución
(15 h 13 min 42 s) × 7
solución
(128° 42' 36'') × 3
solución
http://www.vitutor.com/di/m/s_e.html



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS  DIRECTAS Y RECIPROCAS DE ÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto ;los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto .ABC bca α θ Catetos : CA = b CB = a Hipotenusa : AB = c Ángulos agudos : y
TEOREMA DE PITÁGORAS
AB 2 = CA 2 + C 2 c 2 = a 2 + b2
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
α +θ = 90°
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos  ,se determinan en un triángulo rectángulo, estableciendo la división entre las longitud es de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.
OBSERVACIÓN
Para todo ángulo agudo “θ”se cumplirá: 0 < Sen θ < 1Tgθ> 0Secθ > 10 < Cos θ < 1Ctg θ>0Cscθ > 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS:
Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:
PROPIEDADDELASRECÍPROCAS:
El producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad
Razones trigonométricas

La trigonometría, en sus inicios, se concreta al estudio de los triángulos. Por varios siglos se ejemplos  en topógrafa, navegación y astronomía.

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triangulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:
Graphics
Los ángulos de A y B son agudos
El Angulo C es recto.
Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del ángulo recto son catetos.
Considerado uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.
Observando los siguientes triángulos:
No te sé que los lados del triángulo se representan con las dos letras mayúscula que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula.
Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
Seno y cosecante
En un triángulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes:

Coseno y secante
En un triángulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualquiera de sus ángulos agudos (x) son:

Tangente y cotangente
La tangente y cotangente de cualquiera de los ángulos agudos (x) de un triángulo se establece con las siguientes razones:
En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Puede notarse que las funciones trigonométricas fundamentales y sus reciprocas tienen invertidos sus términos.
Ejemplo1
Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m.
Solución
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medias sus respectivas definiciones.
                                                                 
                                                                                           
Sen a =3/5                 csc a=5/3
Cos a= 4/5                sec  a=5/4
Tan a = ¾                cot a =4/3                           


     
Ejemplo 2
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo.
Solución
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
                                   




http://www.google.com.mx/#sclient=psy-ab&q=EJEMPLOS+razones+trigonometricas+directas+y+reciprocas+de+angulos+agudos&oq=EJEMPLOS+razones+trigonometricas+directas+y+reciprocas+de+angulos+agudos&gs_l=hp.3...5838.8121.3.8598.9.9.0.0.0.8.1016.4709.0j1j0j1j1j2j2j1.8.0...0.0...1c.1.14.psy-ab.qu3ycigXIKw&pbx=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46865395,bs.1,d.eWU&fp=4e9f51eb8aaaa8c8&biw=1366&bih=673

Calculo de valores de las funciones trigonométricas  30˚45˚y       60˚ y sus múltiplos
La palabra “notable” dentro de la trigonometría y la matemática en general se la utiliza para hacer referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene un origen “notable” o muy particular. De ésta manera, se han definido a los ángulos notables como aquellos que tienen valores muy específicos y que aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Éstos ángulos son los de 30°, 45° y 60°. Debo decir que, a pesar de no ser definidos como notables, los siguientes valores de ángulos también forman parte de la familia, desde mi punto de vista, me refiero a los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, ya que son tan comunes en los procesos cotidianos, como los primeros que habí­a nombrado
http://trigonometria.co/wp-content/uploads/2011/03/triangulo-equilatero.pngPara originar dos de los ángulos notables (30° y 60°), se empieza dibujando un triángulo equilátero con su respectiva altura en el vértice C hacia el lado AB, como muestra la figura. Se escoge un equilátero por tener sus lados iguales y sus ángulos de 60°, así­ ya tendremos el ángulo de 60°. Ahora veamos cómo surge el ángulo de 30°











El truco está en la altura CH, ya que ésta para el triángulo equilátero resulta también ser mediana, mediatriz y bisectriz. Así que podrí­amos anotar lo siguiente para CH:
1.    CH es mediatriz, por lo tanto divide al segmento AB en dos partes iguales (AH=HB=1) y además es perpendicular a AB.
2.    CH es altura, de tal forma que parte del vértice C y forma dos triángulos rectángulos AHC y BHC.
3.    CH es bisectriz, por lo tanto divide al ángulo C en dos iguales de 30° cada uno, siendo éste parte de nuestro objetivo.
Ahora es tiempo de separar nuestro nuevo triángulo que nos ayudará a determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°. Para poder continuar, deberemos encontrar el valor de la altura CH que, según el Teorema de Pitágoras, serí­a raíz de 3.
El triángulo de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, está listo, y los valores de las funciones trigonométricas principales también.

http://trigonometria.co/wp-content/uploads/2011/03/Funciones-de-angulos-notables.png
Por último nos queda escribir los valores de las funciones trigonométricas recíprocas, es decir, de aquellas que son el “inverso multiplicativo” de las escritas anteriormente.
http://trigonometria.co/wp-content/uploads/2011/03/funciones-inversas-angulos-notables.png
Con estos valores de las funciones trigonométricas o razones trigonométricas de los ángulos notables puedes empezar a solucionar triángulos cuyos ángulos internos sean siempre notables (30, 45 y 60 grados).
Ejemplo1
Cálculo de las funciones seno y coseno de 36o,18o,27o,9o

Para calcular estas funciones trigonométricas de 36o se utiliza un triángulo isósceles como el que se ilustra en la figura:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Contribucionesv3n1002/funcionsenoycoseno/imagenes/Dibujo3.gif
Se observa que este triángulo tiene una propiedad muy particular, la cual es que al trazar la bisectriz de uno de los ángulos de 72o, por ejemplo B, se forman dos triángulos isósceles, así como se ilustra en la figura que sigue:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Contribucionesv3n1002/funcionsenoycoseno/imagenes/Dibujo4.gif
En la figura se trazó la bisectriz del ángulo B. Aplicando el teorema de la bisectriz se obtiene: 
$\displaystyle {x\over 1-x}$
=
$\displaystyle {1-x\over x}$
Así se deduce que: 
1-x 
=
$\displaystyle {1+\sqrt{5}\over 2}$
Si en el triángulo anterior trazamos también la bisectriz del ángulo de 108o obtenemos los datos siguientes:

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Contribucionesv3n1002/funcionsenoycoseno/imagenes/Dibujo5.gif
De la figura anterior se deduce:
                                sen 36o = $\displaystyle {\sqrt{10-2\sqrt{5}}\over 4}$
                                cos 36o = $\displaystyle {\sqrt{6-2\sqrt{5}}\over 4}$ = $\displaystyle {\sqrt{5}+1\over 2}$
                                sen 54o = $\displaystyle {\sqrt{5}+1\over 2}$
                                cos 54o = $\displaystyle {\sqrt{10-2\sqrt{5}}\over 4}$
Utilizando las fórmulas del ángulo medio calculamos:
                                              sen 18o = $\displaystyle {\sqrt{6-2\sqrt{5}}\over 4}$ = $\displaystyle {\sqrt{5}+1\over 4}$
                                              cos 18o = $\displaystyle {\sqrt{10+2\sqrt{5}}\over 4}$
                                              sen 27o = $\displaystyle {\sqrt{8-2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\over 4}$
                                             cos 27o = $\displaystyle {\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\over 4}$
                                             sen 9o = $\displaystyle {\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\over 4}$
                                            cos 9o = $\displaystyle {\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\over 4}$
Ejemplo 2
Cálculo de las funciones seno y coseno de los ángulos de 24o,12o,6o,3o

Tenemos que 54o - 30o = 24o, así:
sen24o
=
sen$\displaystyle \left(\vphantom{54^o-30^o}\right.$54o - 30o$\displaystyle \left.\vphantom{54^o-30^o}\right)$

=
sen 54o cos 30o - cos 54o sen 30o

=
$\displaystyle {1\over 8}$$\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{15}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{5}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\right]$



cos 24o
=
cos 54o cos 30o + sen 54o sen 30o

=
$\displaystyle {1\over 8}$$\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{5}+ 1 -\sqrt{10-6\sqrt{5}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{5}$ + 1 - $\displaystyle \sqrt{10-6\sqrt{5}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{5}+ 1 -\sqrt{10-6\sqrt{5}}}\right]$



sen 12o
=
$\displaystyle {sen 24^o\over 2}$

=
$\displaystyle {\sqrt{1-cos 24^o\over 2}}$

=
$\displaystyle {\sqrt{7-\sqrt{5}-\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\over 4}$



cos12o
=
$\displaystyle {cos 24^o\over 2}$

=
$\displaystyle {\sqrt{9+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\over 4}$

También se tiene que 6o = 36o - 30o y entonces : 
sen 6o
=
sen 36o cos 30o - cos 36o sen 30o

=
$\displaystyle {1\over 8}$$\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}\right.$$\displaystyle \sqrt{30-6\sqrt{5}}$ - $\displaystyle \sqrt{5}$ - 1$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}\right]$



cos 6o
=
cos 36o cos 30o - sen 36o sen30o

=
$\displaystyle {1\over 8}$$\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}}\right.$$\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{5}}$ + $\displaystyle \sqrt{15}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}}\right]$

Con las fórmulas del ángulo medio se obtiene: 
sen3o
=
$\displaystyle {\sqrt{8-\sqrt{15}-\sqrt{3}-\sqrt{10}-2\sqrt{5}}\over 4}$



cos3o
=
$\displaystyle {\sqrt{8+\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10}+2\sqrt{5}}\over 4}$
Calculamos:
sen 21o
=
$\displaystyle {\sqrt{2}\over16}$$\displaystyle \left[\vphantom{2\sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}-\sqrt{15}+\sqrt{5}-\sqrt{3}+1}\right.$2$\displaystyle \sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}$ - $\displaystyle \sqrt{15}$ + $\displaystyle \sqrt{5}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1$\displaystyle \left.\vphantom{2\sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}-\sqrt{15}+\sqrt{5}-\sqrt{3}+1}\right]$



cos 21o
=
$\displaystyle {\sqrt{2}\over16}$$\displaystyle \left[\vphantom{2\sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}+\sqrt{15}+\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}\right.$2$\displaystyle \sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}$ + $\displaystyle \sqrt{15}$ + $\displaystyle \sqrt{5}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1$\displaystyle \left.\vphantom{2\sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}+\sqrt{15}+\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}\right]$



sen 33o
=
$\displaystyle {\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}+\sqrt{24-3\sqrt{15}-3\sqrt{3}-3\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\over8}$



cos 33o
=
$\displaystyle {\sqrt{24+3\sqrt{15}+3\sqrt{3}+3\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{8-\sqrt{15}-\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\over8}$



sen 39o
=
$\displaystyle {\sqrt{2}\over16}$$\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{15}+\sqrt{5}+\sqrt{3}+1-2\sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{15}$ + $\displaystyle \sqrt{5}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1 - 2$\displaystyle \sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{15}+\sqrt{5}+\sqrt{3}+1-2\sqrt{10-5\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}}}\right]$



cos 39o
=
$\displaystyle {\sqrt{2}\over16}$$\displaystyle \left[\vphantom{2\sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}+\sqrt{15}-\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}\right.$2$\displaystyle \sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}$ + $\displaystyle \sqrt{15}$ - $\displaystyle \sqrt{5}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1$\displaystyle \left.\vphantom{2\sqrt{10+5\sqrt{3}-2\sqrt{5}-\sqrt{15}}+\sqrt{15}-\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}\right]$



sen 42o
=
$\displaystyle {1-\sqrt{5}+\sqrt{30+6\sqrt{5}}\over 8}$



cos 42o
=
$\displaystyle {\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\over 8}$
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Contribucionesv3n1002/funcionsenoycoseno/pagina1.htm



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